Aljabar Linier

Teorema 5.2.3

            Jika v₁, v₂,. . . , v_r  adalah vector-vektor dalam suatu ruang vektor V, maka :

a)   Himpunan W semua kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_r  merupakan suatu sub-ruang dari V.

b)   W adalah sub-ruang terkecil dari V yang berisi v₁, v₂,. . . , v_r dalam pengertian bahwa setiap sub-ruang lain dari V yang berisi v₁, v₂,. . . , v_r  pasti mengandung W.

Bukti (a)

Untuk menunjukkan bahwa W adalah sub-ruang dari V, maka harus dibuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Paling tidak satu vektor dalam W, yaitu 0, karena 0 = 0v₁ + 0v₂+. . . + 0v_r. Jika u dan v adalah vector-vektor dalam W, maka

                        u = c₁v₁ + c₂v₂ + … +c_rv_r

            dan

                        v = k₁v₁ + k₂v₂ + … +k_rv_r

            dengan c₁, c₂,…, c_r, k₁, k₂,…, k_r adalah skalar. Oleh karena itu,

u + v ₌( c₁ + k₁) v₁ + (c₂ + k₂) v₂ +…+(c_r + k_r) v_r

dan, untuk skalar sebarang k,

ku = (kc₁)v₁ + (kc₂)v₂ +…+ (kc_r)v_r

Jadi, u + v dan ku adalah kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_r  dan oleh karena itu, W adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Bukti (b)

Setiap vektor v_i adalah suatu kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_r  karena dapat dituliskan

vi = 0v₁  0v₂ +…+1v_i + 0v_r

            Oleh karena itu, sub-ruang W mengandung masing-masing vektor v₁, v₂,. . . , v_r  . Misalkan W’ adalah sebarang sub-ruang lainnya yang mengandung v₁, v₂,. . . , v_r . Karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, maka W’ pasti mengandung semua kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_r . Jadi, W’ mengandung setiap vektor dari W.